A. 广西高中数学竞赛预赛试题！

2007年全国高中数学联合竞赛加试试题及参考答案
(考试时间:120分钟满分150分)一、(本题满分50分)如图,在锐角△ABC中,AB<AC,AD是边BC上的高,P是线段AD内一点.过P作PE⊥AC,垂足为E,做PF⊥AB,垂足为F.O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心.求证:O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心.二、(本题满分50分)如图,在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点,那么称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些,使得棋盘上剩下的棋子,没有五个在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连.问最少取出多少个棋子才可能满足要求?并说明理由.三、(本题满分50分)设集合P={1,2,3,4,5},对任意k∈P和正整数m,记f(m,k)=,其中[a]表示不大于a的最大整数.求证:对任意正整数n,存在k∈P和正整数m,使得f(m,k)=n.2007年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、(本题满分50分)如图,在锐角△ABC中,AB<AC,AD是边BC上的高,P是线段AD内一点.过P作PE⊥AC,垂足为E,作PF⊥AB,垂足为F.O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心.求证:O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心.证明:连结BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1.因为PD⊥BC,PF⊥AB,故B、D、P、F四点共圆,且BP为该圆的直径.又因为O1是△BDF的外心,故O1在BP上且是BP的中点.同理可证C、D、P、E四点共圆,且O2是CP的中点.综合以上知O1O2∥BC,所以∠PO2O1=∠PCB.因为AF·AB=AP·AD=AE·AC,所以B、C、E、F四点共圆.充分性:设P是△ABC的垂心,由于PE⊥AC,PF⊥AB,所以B、O1、P、E四点共线,C、O2、P、F四点共线,∠FO2O1=∠FCB=∠FEB=∠FEO1,故O1、O2、E、F四点共圆.必要性:设O1、O2、E、F四点共圆,故∠O1O2E ∠EFO1=180°.由于∠PO2O1=∠PCB=∠ACB-∠ACP,又因为O2是直角△CEP的斜边中点,也就是△CEP的外心,所以∠PO2E=2∠ACP.因为O1是直角△BFP的斜边中点,也就是△BFP的外心,从而∠PFO1=90°-∠BFO1=90°-∠ABP.因为B、C、E、F四点共圆,所以∠AFE=∠ACB,∠PFE=90°-∠ACB.于是,由∠O1O2E ∠EFO1=180°得(∠ACB-∠ACP) 2∠ACP (90°-∠ABP) (90°-∠ACB)=180°,即∠ABP=∠ACP.又因为AB<AC,AD⊥BC,故BD<CD.设B′是点B关于直线AD的对称点,则B′在线段DC上且B′D=BD.连结AB′、PB′.由对称性,有∠AB′P=∠ABP,从而∠AB′P=∠ACP,所以A、P、B′、C四点共圆.由此可知∠PB′B=∠CAP=90°-∠ACB.因为∠PBC=∠PB′B,故∠PBC ∠ACB=(90°-∠ACB) ∠ACB=90°,故直线BP和AC垂直.由题设P在边BC的高上,所以P是△ABC的垂心.二、(本题满分50分)如图,在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点,那么称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些,使得棋盘上剩下的棋子,没有五个在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连.问最少取出多少个棋子才可能满足要求?并说明理由.解:最少要取出11个棋子,才可能满足要求.其原因如下:如果一个方格在第i行第j列,则记这个方格为(i,j).第一步证明若任取10个棋子,则余下的棋子必有一个五子连珠,即五个棋子在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连.用反证法.假设可取出10个棋子,使余下的棋子没有一个五子连珠.如图1,在每一行的前五格中必须各取出一个棋子,后三列的前五格中也必须各取出一个棋子.这样,10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分.同理,由对称性,也不会分布在其他角上的阴影部分.第1、2行必在每行取出一个,且只能分布在(1,4)、(1,5)、(2,4)、(2,5)这些方格.同理(6,4)、(6,5)、(7,4)、(7,5)这些方格上至少要取出2个棋子.在第1、2、3列,每列至少要取出一个棋子,

B. 2012全国高中数学联赛 广西区的各奖项的分数线

这个在考试前都是不可能知道准确分数线的了，名额都是确定，分数是浮动的了，考试对大部分人的难易程度决定了每一期的分数线的。可以参考你自己平时考试总排名情况的，正常发挥，评估就出入不大。

C. 2011全国高中数学联赛广西区决赛获奖名单在哪有

区教育厅有名单，可以去问问

D. 广西省数学联赛一般多少人参加啊

广西省高中数学联赛大概每年1500-2500人参加，评出50个省级一等奖和大约5个冬令营名额，前者可以参加大多数985的自招，但是北大清华只有进全省前五才能。我是山东的，基本上考160能进冬令营，你们那边差不多130就够了，加油吧少年!

E. 2012年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷

http://wenku..com/view/0fd8d449852458fb770b5616.html
这是原卷
我第一个找到的 给我分吧

F. 2016全国高中数学联赛广西预赛时间

3月3日全国政协会议开幕；3月5日全国人大会议开幕。近10多年，这一时间固定不变。

G. 得广西创新杯数学一等奖高考能加分降分吗或者有其他任何用途吗

应该可以保送吧，即便没法保送，应该可以加10分

H. 全国高中数学联赛广西一等奖能保送什么学校

北大的可能性不太大，但是211的大学应该没问题。